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ローレンツ方程式

流体のカオス的ふるまいを表す方程式としてローレンツ方程式がある。1963年Lorenz,E.N.が”Deterministic Nonperiodic Flow",Journal of Atmospheric Sciencesに発表した決定論的非周期流れの方程式である。

dx/dt=-px+py
dy/dt=-xz+rx-y
dz/dt=xy-bz

ローレンツがこの論文で与えたのは、
p=10
r=28
b=8/3
であり、この元に解かれるX,Y,Zの軌跡（アトラクタ）が示された。

この方程式を私も解いてみた。OctaveというGNUのソフトを使い解く。

>function xdot=f(x,t)
xdot=zeros(1,3)
xdot(1)=-10*x(1)+10*x(2)
xdot(2)=-x(1)*x(3)+28*x(1)-x(2)
xdot(3)=x(1)*x(2)-8/3*x(3)
endfunction
>x0=[1;1;1];
>t=linspace(0,500,1000);
>x=lsode("f",x0.t);
>plot(t,x);

以上の設定で解けるはずである。

アトラクタは示せないが、確かにカオス的解が得られる。このことが流体のふるまいを示していると言うのいである。アトラクタを示せばよりわかり易いであろうが、たとえば小川の中の石の周りの流れがこのことを表している。同じようなパターンの流れを示したかと思えば異なるパターンにぱっと変わり、また元に戻りこれが非周期的に起こる。川の中の石の周りの流れをじっと見て余生を過ごしたレオナルド・ダ・ビンチもこういったことが連立常微分方程式の初期値問題でこんなことが表せると気づいたらさぞかし喜んだであろう。